Care este limita unei funcții

În această publicație, vom lua în considerare unul dintre conceptele principale ale analizei matematice – limita unei funcții: definiția acesteia, precum și diverse soluții cu exemple practice.

Determinarea limitei unei funcții

Limita functiei – valoarea la care tinde valoarea acestei funcții atunci când argumentul ei tinde spre punctul limită.

Înregistrare limită:

• limita este indicată de pictogramă lim;
• mai jos se adauga la ce valoare tinde argumentul (variabila) functiei. De obicei asta x, dar nu neapărat, de exemplu:x→1″;
• apoi funcția în sine este adăugată în dreapta, de exemplu:

  

Astfel, înregistrarea finală a limitei arată astfel (în cazul nostru):

Se citește ca „limita funcției pe măsură ce x tinde spre unitate”.

x→ 1 – asta înseamnă că „x” preia constant valori care se apropie la infinit de unitate, dar nu va coincide niciodată cu ea (nu va fi atinsă).

Limite de decizie

Cu un număr dat

Să rezolvăm limita de mai sus. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți unitatea în funcție (pentru că x→1):

Astfel, pentru a rezolva limita, încercăm mai întâi să substituim pur și simplu numărul dat în funcția de sub acesta (dacă x tinde către un anumit număr).

Cu infinit

În acest caz, argumentul funcției crește la infinit, adică "X" tinde spre infinit (∞). De exemplu:

If x→∞, atunci funcția dată tinde spre minus infinit (-∞), deoarece:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 etc.

Un alt exemplu mai complex

Pentru a rezolva această limită, de asemenea, pur și simplu creșteți valorile x și uitați-vă la „comportamentul” funcției în acest caz.

• RџSЂRo x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRo x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRo x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Astfel, pentru "X"tinzând spre infinit, funcția x² +3x –6 crește la infinit.

Cu incertitudine (x tinde spre infinit)

În acest caz, vorbim de limite, când funcția este o fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. în care "X" tinde spre infinit.

Exemplu: să calculăm limita de mai jos.

Soluţie

Expresiile atât la numărător, cât și la numitor tind spre infinit. Se poate presupune că în acest caz soluția va fi următoarea:

Cu toate acestea, nu toate sunt atât de simple. Pentru a rezolva limita trebuie să facem următoarele:

1. Găsiți x la cea mai mare putere pentru numărător (în cazul nostru, este doi).

2. În mod similar, definim x la cea mai mare putere pentru numitor (de asemenea este egal cu doi).

3. Acum împărțim atât numărătorul cât și numitorul cu x în grad superior. În cazul nostru, în ambele cazuri – în al doilea, dar dacă ar fi diferite, ar trebui să luăm cel mai înalt grad.

4. În rezultatul rezultat, toate fracțiile tind spre zero, deci răspunsul este 1/2.

Cu incertitudine (x tinde către un anumit număr)

Atât numărătorul, cât și numitorul sunt polinoame, totuși, "X" tinde spre un anumit număr, nu spre infinit.

În acest caz, închidem condiționat ochii la faptul că numitorul este zero.

Exemplu: Să găsim mai jos limita funcției.

Soluţie

1. Mai întâi, să substituim numărul 1 în funcție, la care "X". Obținem incertitudinea formei pe care o luăm în considerare.

2. În continuare, descompunem numărătorul și numitorul în factori. Pentru a face acest lucru, puteți folosi formulele de înmulțire prescurtate, dacă sunt potrivite, sau.

În cazul nostru, rădăcinile expresiei din numărător (2x² – 5x + 3 = 0) sunt numerele 1 și 1,5. Prin urmare, poate fi reprezentat ca: 2(x-1)(x-1,5).

Numitor (x–1) este inițial simplu.

3. Obținem o astfel de limită modificată:

4. Fracția poate fi redusă cu (x–1):

5. Rămâne doar să înlocuim numărul 1 în expresia obținută sub limita: