Extragerea rădăcinii unui număr complex

În această publicație, vom analiza cum puteți lua rădăcina unui număr complex și, de asemenea, cum poate ajuta acest lucru la rezolvarea ecuațiilor pătratice al căror discriminant este mai mic decât zero.

Extragerea rădăcinii unui număr complex

Rădăcină pătrată

După cum știm, este imposibil să luăm rădăcina unui număr real negativ. Dar când vine vorba de numere complexe, această acțiune poate fi efectuată. Să ne dăm seama.

Să presupunem că avem un număr z = -9. Pentru √-9 sunt doua radacini:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Să verificăm rezultatele obținute prin rezolvarea ecuației z² = -9, fără a uita că i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Astfel, noi am dovedit că -3i и 3i sunt rădăcini √-9.

Rădăcina unui număr negativ este de obicei scrisă astfel:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etc

Rădăcină la puterea lui n

Să presupunem că ni se dau ecuații de forma z = ⁿ√w… Are n radacini (z₀Or₁Or₂,…, z_n-1), care poate fi calculat folosind formula de mai jos:

|w| este modulul unui număr complex w;

φ – argumentul lui

k este un parametru care ia valorile: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Ecuații pătratice cu rădăcini complexe

Extragerea rădăcinii unui număr negativ schimbă ideea obișnuită de uXNUMXbuXNUMXb. Dacă discriminantul (D) este mai mică decât zero, atunci nu pot exista rădăcini reale, dar pot fi reprezentate ca numere complexe.

Exemplu

Să rezolvăm ecuația x² – 8x + 20 = 0.

Soluţie

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, dar încă putem lua rădăcina discriminantului negativ:

√D = √-16 = ±4i

Acum putem calcula rădăcinile:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Prin urmare, ecuația x² – 8x + 20 = 0 are două rădăcini conjugate complexe:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i