Ridicarea unui număr complex la o putere naturală

În această publicație, vom lua în considerare modul în care un număr complex poate fi ridicat la o putere (inclusiv folosind formula De Moivre). Materialul teoretic este însoțit de exemple pentru o mai bună înțelegere.

Ridicarea unui număr complex la o putere

În primul rând, amintiți-vă că un număr complex are forma generală: z = a + bi (forma algebrică).

Acum putem trece direct la rezolvarea problemei.

Număr pătrat

Putem reprezenta gradul ca un produs al acelorași factori și apoi găsim produsul lor (în timp ce ne amintim că i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Exemplu 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

De asemenea, puteți folosi, și anume pătratul sumei:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Notă: În același mod, dacă este necesar, se pot obține formule pentru pătratul diferenței, cubul sumei / diferenței etc.

Gradul al N-lea

Ridicați un număr complex z în natură n mult mai ușor dacă este reprezentat în formă trigonometrică.

Amintiți-vă că, în general, notația unui număr arată astfel: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Pentru exponențiere, puteți folosi formula lui De Moivre (numit așa după matematicianul englez Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formula se obține prin scrierea în formă trigonometrică (modulele se înmulțesc, iar argumentele se adaugă).

Exemplu 2

Ridicați un număr complex z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) până la gradul al optulea.

Soluţie

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).