În această publicație, vom lua în considerare ce este metoda Gaussiană, de ce este necesară și care este principiul ei. De asemenea, vom demonstra folosind un exemplu practic modul în care metoda poate fi aplicată pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare.
Descrierea metodei Gauss
metoda Gauss este metoda clasică de eliminare secvenţială a variabilelor folosită pentru rezolvarea . Este numit după matematicianul german Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Dar mai întâi, să ne amintim că SLAU poate:
- au o singură soluție;
- au un număr infinit de soluții;
- să fie incompatibile, adică să nu aibă soluții.
Beneficii practice
Metoda Gauss este o modalitate excelentă de a rezolva un SLAE care include mai mult de trei ecuații liniare, precum și sisteme care nu sunt pătrate.
Principiul metodei Gauss
Metoda include următorii pași:
- drept – matricea augmentată corespunzătoare sistemului de ecuații, se reduce prin modul de deasupra rândurilor la forma triunghiulară superioară (în trepte), adică sub diagonala principală ar trebui să fie doar elemente egale cu zero.
- înapoi – în matricea rezultată, elementele de deasupra diagonalei principale sunt, de asemenea, setate la zero (vedere triunghiulară inferioară).
Exemplu de soluție SLAE
Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare de mai jos folosind metoda Gauss.
Soluţie
1. Pentru început, prezentăm SLAE-ul sub forma unei matrice extinse.
2. Acum sarcina noastră este să resetam toate elementele de sub diagonala principală. Acțiunile ulterioare depind de matricea specifică, mai jos le vom descrie pe cele care se aplică în cazul nostru. În primul rând, schimbăm rândurile, plasându-le astfel primele elemente în ordine crescătoare.
3. Scădeți din al doilea rând de două ori primul, iar din al treilea – triplu primul.
4. Adăugați a doua linie la a treia linie.
5. Scădeți a doua linie din prima linie și, în același timp, împărțiți a treia linie la -10.
6. Prima etapă este finalizată. Acum trebuie să obținem elementele nule deasupra diagonalei principale. Pentru a face acest lucru, scădeți al treilea înmulțit cu 7 din primul rând și adăugați al treilea înmulțit cu 5 la al doilea.
7. Matricea finală extinsă arată astfel:
8. Corespunde sistemului de ecuații:
Răspuns: rădăcină SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.