Proprietățile de înălțime ale unui triunghi dreptunghic

În această publicație, vom lua în considerare principalele proprietăți ale înălțimii într-un triunghi dreptunghic și vom analiza, de asemenea, exemple de rezolvare a problemelor pe această temă.

Notă: triunghiul se numeste dreptunghiular, dacă unul dintre unghiurile sale este drept (egal cu 90°) iar celelalte două sunt acute (<90°).

Proprietăți de înălțime într-un triunghi dreptunghic

Proprietatea 1

Un triunghi dreptunghic are două înălțimi (h₁ и h₂) coincid cu picioarele sale.

a treia inaltime (h₃) coboară la ipotenuză din unghi drept.

Proprietatea 2

Ortocentrul (punctul de intersecție al înălțimilor) al unui triunghi dreptunghic se află la vârful unghiului drept.

Proprietatea 3

Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză îl împarte în două triunghiuri dreptunghiulare asemănătoare, care sunt, de asemenea, similare cu cel original.

1. △ABD ~ △ABC la două unghiuri egale: ∠ADB = ∠LAC (linii drepte), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC la două unghiuri egale: ∠ADC = ∠LAC (linii drepte), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC la două unghiuri egale: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

dovada: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). În același timp ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Prin urmare, ∠BAD = ∠ACD.

Se poate demonstra în mod similar că ∠ABD = ∠DAC.

Proprietatea 4

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea trasată la ipotenuză se calculează după cum urmează:

1. Prin segmente de pe ipotenuză, format ca urmare a împărțirii sale la baza înălțimii:

2. Prin lungimile laturilor triunghiului:

Această formulă este derivată din Proprietățile sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic (sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză):

Notă: unui triunghi dreptunghic, se aplică și proprietățile generale de înălțime prezentate în publicația noastră.

Exemplu de problemă

Sarcina 1

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este împărțită la înălțimea trasă pe acesta în segmente de 5 și 13 cm. Aflați lungimea acestei înălțimi.

Soluţie

Să folosim prima formulă prezentată în Proprietatea 4:

Sarcina 2

Lamele unui triunghi dreptunghic au 9 și 12 cm. Aflați lungimea altitudinii trasate la ipotenuză.

Soluţie

Mai întâi, să găsim lungimea ipotenuzei de-a lungul (fie catetele triunghiului "la" и „B”, iar ipotenuza este „vs”):

c² = A² + B² = 9² + 12² = 225.

În consecință, с = 15 cm.

Acum putem aplica a doua formulă de la Proprietăți 4discutat mai sus: