Cuprins
În această publicație, vom lua în considerare definiția rangului unei matrice, precum și metodele prin care poate fi găsită. Vom analiza, de asemenea, exemple pentru a demonstra aplicarea teoriei în practică.
Determinarea rangului unei matrice
Rangul matricei este rangul sistemului său de rânduri sau coloane. Orice matrice are rangurile sale de rânduri și coloane, care sunt egale între ele.
Rangul sistemului de rânduri este numărul maxim de rânduri liniar independente. Rangul sistemului de coloane este determinat într-un mod similar.
note:
- Rangul matricei zero (notat cu simbolul „θ„) de orice dimensiune este zero.
- Rangul oricărui vector rând sau coloană diferit de zero este egal cu unu.
- Dacă o matrice de orice dimensiune conține cel puțin un element care nu este egal cu zero, atunci rangul său nu este mai mic de unu.
- Rangul unei matrice nu este mai mare decât dimensiunea sa minimă.
- Transformările elementare efectuate pe o matrice nu îi schimbă rangul.
Găsirea rangului unei matrice
Metoda de franjuri minore
Rangul unei matrice este egal cu ordinul maxim al unui nul.
Algoritmul este următorul: găsiți minorii de la cele mai mici ordine la cele mai mari. Dacă este minoră nOrdinul nu este egal cu zero și toate ulterioare (n+1) sunt egale cu 0, deci rangul matricei este n.
Exemplu
Pentru a fi mai clar, să luăm un exemplu practic și să găsim rangul matricei A mai jos, folosind metoda limitării minorilor.
Soluţie
Avem de-a face cu o matrice 4 × 4, prin urmare, rangul ei nu poate fi mai mare de 4. De asemenea, există elemente nenule în matrice, ceea ce înseamnă că rangul său nu este mai mic de unu. Asadar, haideti sa începem:
1. Începeți verificarea minori de ordinul doi. Pentru început, luăm două rânduri din prima și a doua coloană.
Minor este egal cu zero.
Prin urmare, trecem la următorul minor (rămâne prima coloană, iar în loc de a doua o luăm pe a treia).
Minorul este 54≠0, deci rangul matricei este de cel puțin doi.
Notă: Dacă acest minor s-ar dovedi a fi egal cu zero, am verifica în continuare următoarele combinații:
Dacă este necesar, enumerarea poate fi continuată în același mod cu șiruri de caractere:
- 1 și 3;
- 1 și 4;
- 2 și 3;
- 2 și 4;
- 3 și 4.
Dacă toți minorii de ordinul doi ar fi egali cu zero, atunci rangul matricei ar fi egal cu unu.
2. Am reușit aproape imediat să găsim o minoră care ni se potrivește. Deci să trecem la minori de ordinul al treilea.
La minorul găsit de ordinul doi, care a dat un rezultat diferit de zero, adăugăm un rând și una dintre coloanele evidențiate cu verde (începem de la al doilea).
Minorul s-a dovedit a fi zero.
Prin urmare, schimbăm a doua coloană cu a patra. Și la a doua încercare, reușim să găsim un minor care nu este egal cu zero, ceea ce înseamnă că rangul matricei nu poate fi mai mic de 3.
Notă: dacă rezultatul s-a dovedit a fi din nou zero, în loc de al doilea rând, l-am duce pe al patrulea mai departe și am continua căutarea unui minor „bun”.
3. Acum rămâne de stabilit minori de ordinul al patrulea pe baza celor găsite mai devreme. În acest caz, este unul care se potrivește cu determinantul matricei.
Minor este egal cu 144≠0. Aceasta înseamnă că rangul matricei A este egal cu 4.
Reducerea unei matrice la o formă în trepte
Rangul unei matrice pas este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero. Adică, tot ce trebuie să facem este să aducem matricea la forma corespunzătoare, de exemplu, folosind , care, așa cum am menționat mai sus, nu își schimbă rangul.
Exemplu
Aflați rangul unei matrice B de mai jos. Nu luăm un exemplu prea complex, deoarece scopul nostru principal este pur și simplu să demonstrăm aplicarea metodei în practică.
Soluţie
1. Mai întâi, scădeți primul dublat din a doua linie.
2. Acum scade primul rând din al treilea rând, înmulțit cu patru.
Astfel, am obținut o matrice de pași în care numărul de rânduri non-zero este egal cu două, prin urmare și rangul său este egal cu 2.