În această publicație, vom lua în considerare una dintre principalele teoreme ale geometriei euclidiene – teorema lui Stewart, care a primit un astfel de nume în onoarea matematicianului englez M. Stewart, care a demonstrat-o. De asemenea, vom analiza în detaliu un exemplu de rezolvare a problemei pentru consolidarea materialului prezentat.
Enunțul teoremei
Triunghiul lui Dan ABC. Lângă el AC punct luat D, care este conectat la vârf B. Acceptăm următoarea notație:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = și
Pentru acest triunghi, egalitatea este adevărată:
Aplicarea teoremei
Din teorema lui Stewart, pot fi derivate formule pentru găsirea medianelor și bisectoarelor unui triunghi:
1. Lungimea bisectoarei
Lăsa lc este bisectoarea trasă în lateral c, care este împărțit în segmente x и y. Să luăm celelalte două laturi ale triunghiului ca a и b… În acest caz:
2. Lungimea mediană
Lăsa mc este mediana întoarsă în jos în lateral c. Să notăm celelalte două laturi ale triunghiului ca a и b… Apoi:
Exemplu de problemă
Triunghiul dat ABC. Pe partea de AC egal cu 9 cm, punct luat D, care împarte latura astfel încât AD de două ori mai lung DC. Lungimea segmentului care leagă vârful B și punct D, este de 5 cm. În acest caz, triunghiul format ABD este isoscel. Găsiți laturile rămase ale triunghiului ABC.
Soluţie
Să descriem condițiile problemei sub forma unui desen.
AC = AD + DC = 9 cm. AD mai lung DC de două ori, adică AD = 2DC.
În consecință, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Asa de, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Pentru că triunghiul ABD – isoscel și lateral AD este de 6 cm, deci sunt egale AB и BDIe AB = 5 cm.
Rămâne doar de găsit BC, derivând formula din teorema lui Stewart:
Inlocuim valorile cunoscute in aceasta expresie:
In acest fel, BC = √52 ≈ 7,21 cm.