Sistem de ecuații algebrice liniare

În această publicație, vom lua în considerare definiția unui sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE), cum arată, ce tipuri există și, de asemenea, cum să-l prezentăm într-o formă de matrice, inclusiv una extinsă.

Definirea unui sistem de ecuații liniare

Sistem de ecuații algebrice liniare (sau „SLAU” pe scurt) este un sistem care arată în general astfel:

• m este numărul de ecuații;
• n este numărul de variabile.
• x₁, X₂,…, X_n – necunoscut;
• a₁₁,₁₂…, A_mn – coeficienți pentru necunoscute;
• b₁, b₂,…, b_m – membri gratuiti.

Indici de coeficienți (a_ij) sunt formate după cum urmează:

• i este numărul ecuației liniare;
• j este numărul variabilei la care se referă coeficientul.

Soluție SLAU – astfel de numere c₁, C₂,…, c_n , în cadrul căruia în loc de x₁, X₂,…, X_n, toate ecuațiile sistemului se vor transforma în identități.

Tipuri de SLAU

1. Omogen – toți membrii liberi ai sistemului sunt egali cu zero (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Eterogen – dacă nu este îndeplinită condiția de mai sus.
3. Pătrat – numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, adică m = n.

   

4. Subdeterminat – numărul de necunoscute este mai mare decât numărul de ecuații.

   

5. suprascris Există mai multe ecuații decât variabile.

   

În funcție de numărul de soluții, SLAE poate fi:

1. Comun are cel putin o solutie. Mai mult, dacă este unic, sistemul se numește definit, dacă există mai multe soluții, se numește nedefinit.

   

   SLAE de mai sus este comun, deoarece există cel puțin o soluție: x = 2, y = 3.

2. incompatibil Sistemul nu are soluții.

   

   Laturile din dreapta ale ecuațiilor sunt aceleași, dar cele din stânga nu sunt. Astfel, nu există soluții.

Notarea matricială a sistemului

SLAE poate fi reprezentat sub formă de matrice:

AX = B

• A este matricea formată din coeficienții necunoscutelor:

  

• X – coloana de variabile:

  

• B – coloana de membri liberi:

  

Exemplu

Reprezentăm sistemul de ecuații de mai jos sub formă de matrice:

Folosind formele de mai sus, compunem matricea principala cu coeficienti, coloane cu membri necunoscuti si liberi.

Înregistrarea completă a sistemului de ecuații dat sub formă de matrice:

Matrice SLAE extinsă

Dacă la matricea sistemului A adăugați coloana de membri gratuiti în dreapta B, separând datele cu o bară verticală, obțineți o matrice extinsă de SLAE.

Pentru exemplul de mai sus, arată astfel:

– desemnarea matricei extinse.