Cuprins
În această publicație, vom lua în considerare definiția și principalele proprietăți ale liniilor mediane ale unui patrulater convex în ceea ce privește punctul lor de intersecție, relația cu diagonalele etc.
Notă: În cele ce urmează, vom lua în considerare doar o figură convexă.
Determinarea liniei mediane a unui patrulater
Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor opuse ale patrulaterului (adică care nu le intersectează) se numește linia de mijloc.
- EF – linia de mijloc care leagă punctele de mijloc AB и CD; AE=EB, CF=FD.
- GH – linia mediană care separă punctele de mijloc BC и ANUNȚ; BG=GC, AH=HD.
Proprietățile liniei mediane a unui patrulater
Proprietatea 1
Liniile de mijloc ale patrulaterului se intersectează și bisectează în punctul de intersecție.
- EF и GH (liniile de mijloc) se intersectează într-un punct O;
- EO=OF, GO=OH.
Notă: Punct O is centroid (Sau baricentru) patrulater.
Proprietatea 2
Punctul de intersecție al liniilor mediane ale patrulaterului este punctul de mijloc al segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor sale.
- K – mijlocul diagonalei AC;
- L – mijlocul diagonalei BD;
- KL trece printr-un punct O, conectarea K и L.
Proprietatea 3
Punctele de mijloc ale laturilor unui patrulater sunt vârfurile unui paralelogram numit Paralelogramul lui Varignon.
Centrul paralelogramului format în acest fel și punctul de intersecție al diagonalelor sale este punctul de mijloc al liniilor mediane ale patrulaterului original, adică punctul lor de intersecție O.
Notă: Aria unui paralelogram este jumătate din aria unui patrulater.
Proprietatea 4
Dacă unghiurile dintre diagonalele unui patrulater și linia lui mediană sunt egale, atunci diagonalele au aceeași lungime.
- EF – linia de mijloc;
- AC и BD – diagonale;
- ∠ELC = ∠BMF = a, Prin urmare AC=BD.
Proprietatea 5
Linia mediană a unui patrulater este mai mică sau egală cu jumătate din suma laturilor sale care nu se intersectează (cu condiția ca aceste laturi să fie paralele).
EF – o linie mediană care nu se intersectează cu laturile AD и BC.
Cu alte cuvinte, linia mediană a unui patrulater este egală cu jumătate din suma laturilor care nu îl intersectează dacă și numai dacă patrulaterul dat este un trapez. În acest caz, laturile considerate sunt bazele figurii.
Proprietatea 6
Pentru vectorul de mijloc al unui patrulater arbitrar, este valabilă următoarea egalitate:
