În această publicație, vom lua în considerare una dintre teoremele clasice ale geometriei afine – teorema Ceva, care a primit un astfel de nume în onoarea inginerului italian Giovanni Ceva. De asemenea, vom analiza un exemplu de rezolvare a problemei pentru a consolida materialul prezentat.
Enunțul teoremei
Triunghiul dat ABC, în care fiecare vârf este legat de un punct din partea opusă.
Astfel, obținem trei segmente (AA', BB' и CC'), care se numesc cevianele.
Aceste segmente se intersectează într-un punct dacă și numai dacă este valabilă următoarea egalitate:
|ȘI'| |NU'| |CB'| = |BC'| |SCHIMB'| |AB'|
Teorema poate fi prezentată și în această formă (se determină în ce raport punctele împart laturile):
Teorema trigonometrică a lui Ceva
Notă: toate colțurile sunt orientate.
Exemplu de problemă
Triunghiul dat ABC cu puncte LA', B' и C ' pe laturi BC, AC и AB, respectiv. Vârfurile triunghiului sunt legate de punctele date, iar segmentele formate trec printr-un punct. În același timp, punctele LA' и B' luate la mijlocul laturilor opuse corespunzătoare. Aflați în ce raport este punctul C ' desparte partea AB.
Soluţie
Să desenăm un desen în funcție de condițiile problemei. Pentru comoditatea noastră, adoptăm următoarea notație:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Rămâne doar să compuneți raportul segmentelor conform teoremei Ceva și să înlocuiți notația acceptată în ea:
După reducerea fracțiilor, obținem:
Prin urmare, AC' = C'B, adică punct C ' desparte partea AB în jumătate.
Prin urmare, în triunghiul nostru, segmentele AA', BB' и CC' sunt mediane. După ce am rezolvat problema, am demonstrat că se intersectează într-un punct (valabil pentru orice triunghi).
Notă: folosind teorema lui Ceva, se poate demonstra că într-un triunghi într-un punct se intersectează și bisectoarele sau înălțimile.