Produsul încrucișat al vectorilor

În această publicație, vom analiza cum să găsim produsul încrucișat al doi vectori, să oferim o interpretare geometrică, o formulă algebrică și proprietățile acestei acțiuni și, de asemenea, vom analiza un exemplu de rezolvare a problemei.

Interpretare geometrică

Produs vectorial al doi vectori nenuli a и b este un vector c, care este notat ca [a, b] or a x b.

Lungimea vectorului c este egală cu aria paralelogramului construit folosind vectori a и b.

În acest caz, c perpendicular pe planul în care se află a и b, și este situat astfel încât cea mai mică rotație de la a к b a fost efectuat în sens invers acelor de ceasornic (din punct de vedere al capătului vectorului).

Formula de produs încrucișat

Produsul vectorilor a = {a_x; la_y,_z} i b = {b_x; b_y, b_z} se calculează folosind una dintre formulele de mai jos:

Proprietăți încrucișate ale produsului

1. Produsul încrucișat a doi vectori nenuli este egal cu zero dacă și numai dacă acești vectori sunt coliniari.

[a, b] = 0, dacă a || b.

2. Modulul produsului încrucișat a doi vectori este egal cu aria paralelogramului format de acești vectori.

S_paralel = |a x b|

3. Aria unui triunghi format din doi vectori este egală cu jumătate din produsul lor vectorial.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Un vector care este un produs încrucișat al altor doi vectori este perpendicular pe aceștia.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) X a = a x (m b) = m (a x b)

unu. (a + b) X c = a x c + b x c

Exemplu de problemă

Calculați produsul încrucișat a = {2; 4; 5} и b = {9; -Două; 3}.

Decizie:

Răspuns: a x b = {19; 43; -42}.