Mica teoremă a lui Fermat

În această publicație, vom lua în considerare una dintre principalele teoreme din teoria numerelor întregi –  Mica teoremă a lui Fermatnumit după matematicianul francez Pierre de Fermat. Vom analiza și un exemplu de rezolvare a problemei pentru consolidarea materialului prezentat.

Enunțul teoremei

1. Inițială

If p este un număr prim a este un număr întreg care nu este divizibil cu papoi a^p-1 - 1 împărțită la p.

Formal este scris astfel: a^p-1 ≡ 1 (împotriva p).

Notă: Un număr prim este un număr natural care este divizibil numai cu XNUMX și el însuși fără rest.

De exemplu:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• număr 15 împărțită la 5 fara rest.

2. Alternativă

If p este un număr prim, a orice număr întreg, atunci a^p comparabil cu a formă p.

a^p ≡ a (împotriva p)

Istoricul găsirii dovezilor

Pierre de Fermat a formulat teorema în 1640, dar nu a demonstrat-o el însuși. Mai târziu, acest lucru a fost făcut de Gottfried Wilhelm Leibniz, un filosof german, logician, matematician etc. Se crede că avea deja dovada până în 1683, deși nu a fost niciodată publicată. Este de remarcat faptul că Leibniz a descoperit el însuși teorema, fără să știe că aceasta fusese deja formulată mai devreme.

Prima demonstrație a teoremei a fost publicată în 1736 și aparține elvețianului, germanului și matematicianului și mecanicului, Leonhard Euler. Mica Teoremă a lui Fermat este un caz special al teoremei lui Euler.

Exemplu de problemă

Găsiți restul unui număr 2¹² on 12.

Soluţie

Să ne imaginăm un număr 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 este un număr prim, prin urmare, prin mica teoremă a lui Fermat obținem:

2¹¹ ≡ 2 (împotriva 11).

Prin urmare, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (împotriva 11).

Deci numărul 2¹² împărțită la 12 cu un rest egal cu 4.