Cuprins
În această publicație, vom lua în considerare proprietățile de bază ale înălțimii într-un triunghi echilateral (regulat). Vom analiza și un exemplu de rezolvare a unei probleme pe această temă.
Notă: triunghiul se numeste echilateraldacă toate laturile sale sunt egale.
Proprietățile înălțimii într-un triunghi echilateral
Proprietatea 1
Orice înălțime dintr-un triunghi echilateral este atât o bisectoare, o mediană și o bisectoare perpendiculară.
- BD – înălțime coborâtă în lateral AC;
- BD este mediana care împarte latura AC în jumătate, adică AD = DC;
- BD – bisectoarea unghiului ABC, adică ∠ABD = ∠CBD;
- BD este mediana perpendiculară pe AC.
Proprietatea 2
Toate cele trei altitudini dintr-un triunghi echilateral au aceeași lungime.
AE = BD = CF
Proprietatea 3
Înălțimile într-un triunghi echilateral la ortocentru (punctul de intersecție) sunt împărțite în raport de 2:1, numărând de la vârful din care sunt desenate.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Proprietatea 4
Ortocentrul unui triunghi echilateral este centrul cercurilor înscrise și circumscrise.
- R este raza cercului circumscris;
- r este raza cercului înscris;
- R = 2r (urmează din Proprietăți 3).
Proprietatea 5
Înălțimea într-un triunghi echilateral îl împarte în două triunghiuri dreptunghiulare cu zonă egală (zonă egală).
S1 =S2
Trei înălțimi dintr-un triunghi echilateral îl împart în 6 triunghiuri dreptunghiulare de arie egală.
Proprietatea 6
Cunoscând lungimea laturii unui triunghi echilateral, înălțimea acestuia poate fi calculată prin formula:
a este latura triunghiului.
Exemplu de problemă
Raza unui cerc circumscris unui triunghi echilateral este de 7 cm. Găsiți latura acestui triunghi.
Soluţie
După cum știm din proprietăți 3 и 4, raza cercului circumscris este 2/3 din înălțimea unui triunghi echilateral (h). Prin urmare, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Acum rămâne de calculat lungimea laturii triunghiului (expresia este derivată din formula în Proprietatea 6):
